梅森素數:數學海洋中的璀璨明珠

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2008年8月,美國加州大學洛杉矶分校(UCLA)的計算機專家史密斯(E.Smith)通過參加了一個名爲“因特網梅森素數大搜索”(GIMPS)的國際合作項目,發現了第46個也是最大的梅森素數243112609-1,該素數也就是2自身相乘43112609次減1,它有12978189位數,如果用普通字號將這個巨數連續寫下來,它的長度可超過50公裏!最近,這一成就被美國的《時代》雜志評爲“2008年度50項最佳發明”之一,排名在第29位。

人類迄今只找到46個梅森素數

素數也叫質數,是只能被1和自身整除的數,如2、3、5、7等等。公元前300多年,古希臘數學家歐幾裏得用反證法證明了素數有無窮多個,並提出了少量素數可寫成2p-1(其中指數P爲素數)的形式。此後許多數學家,包括數學大師費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等都研究過這種特殊形式的素數,而17世紀的法國數學家梅森(M.Mersenne)是其中成果最爲卓著的一位。

由于梅森學識淵博,才華橫溢,並是法蘭西科學院的奠基人,爲了紀念他,數學界就把2p-1型的數稱爲“梅森數”,並以Mp記之(其中M爲梅森姓氏的首字母);如果Mp爲素數,則稱之爲“梅森素數”(Mersenneprime)。2300多年來,人類僅發現46個梅森素數。由于這種素數珍奇而迷人,因此被人們譽爲“數學海洋中的璀璨明珠”。梅森素數一直是數論研究的一項重要內容,也是當今科學探索的熱點和難點。

貌似簡單卻難度極大的探究

梅森素數貌似簡單,但研究難度卻很大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧,而且還需要進行艱巨的計算。1772年,瑞士數學大師歐拉在雙目失明的情況下,靠心算證明了M31(即231-1=2147483647)是一個素數。它具有10位數字,堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉的毅力與技巧都令人贊歎不已,他因此獲得了“數學英雄”的美譽。難怪法國大數學家拉普拉斯(P.Laplace)向他的學生們說:“讀讀歐拉,他是我們每一個人的老師。”在“手算筆錄年代”,人們曆盡艱辛,僅找到12個梅森素數。

電子計算機的出現,大大加快了探究梅森素數的步伐。1952年,美國數學家魯濱遜等人將著名的盧卡斯-雷默方法編譯成計算機程序,使用SWAC型計算機在短短幾小時之內,就找到了5個梅森素數:M521、M607、M1279、M2203和M2281

1963年9月6日晚上8點,當第23個梅森素數M11213通過大型計算機被找到時,美國廣播公司(ABC)中斷了正常的節目播放,在第一時間發布了這一重要消息。發現這一素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生感到無比驕傲,爲讓全世界都分享這一成果,以至把所有從系裏發出的信封都蓋上了“211213-1是個素數”的郵戳。

隨著素數P值的增大,每一個梅森素數Mp的産生都艱辛無比;而各國科學家及業余研究者們仍樂此不疲,激烈競爭。例如,在1979年2月23日,當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個梅森數M23209時,有人告訴他們:在兩星期前美國加州的高中生諾爾就已經給出了同樣結果。爲此他們又花了一個半月的時間,使用Cray-1型計算機找到了新的梅森素數M44497。這件事成了當時不少報紙的頭版新聞。

爲與美國較量,英國原子能技術權威機構——哈威爾實驗室專門成立了一個研究小組來尋找更大的梅森素數。他們用了兩年時間,花了12萬英鎊的經費,于1992年3月25日找到了新的梅森素數M756839。不過,1994年1月14日,史洛溫斯基等人爲美國再次奪回發現“已知最大素數”的桂冠——這一素數是M859433。由于史洛溫斯基一共發現7個梅森素數,他被人們譽爲“素數大王”。

由于梅森素數在正整數中的分布是時疏時密極不規則的,因此研究梅森素數的重要性質——分布規律似乎比尋找新的梅森素數更爲困難。數學家們在長期的摸索中,提出了一些猜想。英國數學家香克斯、法國數學家伯特蘭和托洛塔、印度數學家拉曼紐楊、美國數學家吉裏斯和德國數學家伯利哈特等都曾分別給出過關于梅森素數分布的猜測,但他們的猜測有一個共同點,就是都以近似表達式給出,而與實際情況的接近程度均難如人意。

中國數學家和語言學家周海中對梅森素數研究多年,他運用聯系觀察法和不完全歸納法,于1992年首先給出了梅森素數分布的精確表達式,從而揭示了梅森素數的重要規律,爲人們探究這一素數提供了方便。後來這一科研成果被國際上稱爲“周氏猜測”。

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利用網格技術搜尋梅森素數

網格(Grid)這一嶄新技術的出現使梅森素數的探尋如虎添翼。1996年初,美國數學家和程序設計師沃特曼(G.Woltman)編制了一個梅森素數計算程序,並把它放在網頁上供數學家和數學愛好者免費使用,這就是著名的GIMPS項目。該項目采取網格計算方式,利用大量普通計算機的閑置時間來獲得相當于超級計算機的運算能力。只要人們去GIMPS的主頁下載那個免費程序,就可以立即參加GIMPS項目去搜尋梅森素數。

12年來,人們通過GIMPS項目找到了12個梅森素數,其發現者來自美國、英國、法國、德國和加拿大。目前,世界上有160多個國家和地區近16萬人參加了這一項目,並動用了30多萬台計算機聯網來進行網格計算。該項目的計算能力已超過當今世界上任何一台最先進的超級矢量計算機的計算能力,運算速度超過每秒350萬億次。

爲了激勵人們尋找梅森素數,設在美國的電子新領域基金會(EFF)不久前向全世界宣布了爲通過GIMPS項目來探尋梅森素數而設立的獎金。它規定向第一個找到超過1000萬位數的個人或機構頒發10萬美元。後面的獎金依次爲:超過1億位數,15萬美元;超過10億位數,25萬美元。由于史密斯發現的梅森素數已超過1000萬位,他將有資格獲得EFF頒發的10萬美元大獎。其實,絕大多數研究者參與該項目並不是爲了金錢,而是出于樂趣、榮譽感和探索精神。

梅森素數的意義和價值

梅森素數在當代具有十分豐富的理論意義和實用價值。它是發現已知最大素數的最有效途徑;它的探究推動了數學皇後——數論的研究,促進了計算技術、程序設計技術、密碼技術的發展以及快速傅立葉變換的應用。

探尋梅森素數最新的意義是:它促進了網格技術的發展。而網格技術將是一項應用非常廣闊、前景十分誘人的技術。另外,探尋梅森素數的方法還可用來測試計算機硬件運算是否正確。

由于探尋梅森素數需要多種學科和技術的支持,所以許多科學家認爲:梅森素數的研究成果,在一定程度上反映了一個國家的科技水平。英國頂尖科學家索托伊(M.Sautoy)甚至認爲它是標志科學發展的裏程碑。可以相信,梅森素數這顆數學海洋中的璀璨明珠正以其獨特魅力,吸引著更多的有志者去探尋和研究。

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